Desigualdades de tipo Brunn-Minkowski discretas

Abstract

La famosa desigualdad de Brunn-Minkowski establece que la raíz n-ésima del volumen de conjuntos compactos (y convexos) es una función cóncava. El principal objetivo de esta Tesis Doctoral es estudiar desigualdades de tipo Brunn-Minkowski en el contexto discreto, es decir, sustituyendo los compactos por conjuntos finitos de puntos y el volumen por el cardinal.

Comenzamos la memoria estableciendo las nociones básicas que se necesitarán para el posterior desarrollo de los contenidos. Además, en este primer capítulo, estudiamos la desigualdad de Brunn-Minkowski, y vemos que no es posible conseguir una “traducción inmediata” de la misma para conjuntos finitos. Así, va a ser necesario, o bien cambiar la estructura de la desigualdad, o modificar alguno de los conjuntos involucrados. En la última parte de este capítulo analizamos desigualdades discretas de tipo Brunn-Minkowski ya conocidas que tienen una estructura diferente, haciendo especial hincapié en la desigualdad de Gardner y Gronchi, para la cual proponemos un nuevo método que permite calcular la cota de manera eficiente.

El segundo capítulo está dedicado a determinar versiones discretas de la desigualdad de Brunn-Minkowski manteniendo su forma clásica y, por tanto, modificando uno de los conjuntos. Para ello consideramos dos construcciones: en la primera de ellas añadimos puntos de manera recursiva a uno de los conjuntos, mientras que en la segunda suprimimos puntos de una forma concreta. Con estas construcciones conseguimos dos nuevas versiones discretas (y equivalentes) de la desigualdad de Brunn-Minkowski, probando además que éstas implican la desigualdad clásica de Brunn-Minkowski para el volumen de conjuntos compactos. Concluimos el capítulo proporcionando cotas superiores e inferiores para el cardinal de los nuevos conjuntos, lo que demuestra que el número de puntos que se añaden/eliminan en estas construcciones está, en cierta forma, controlado.

Finalmente, en el tercer capítulo, utilizamos las técnicas anteriores con el fin de obtener versiones discretas de la llamada desigualdad de Borell-Brascamp-Lieb, un resultado funcional que generaliza la desigualdad de Brunn-Minkowski. Existen dos versiones equivalentes del resultado clásico de Borell-Brascamp-Lieb, que introducimos en la primera parte del capítulo. En ambos casos demostramos la correspondiente versión discreta, pero utilizando dos formas de medir diferentes: el cardinal en una de ellas y el enumerador de puntos del retículo en la otra. Se prueba que éstas también pueden usarse para deducir las respectivas desigualdades clásicas de Borell-Brascamp-Lieb.

La metodología seguida ha sido la usual en un proyecto de investigación en matemáticas: el estudio en profundidad de artículos y textos en Geometría Convexa y Discreta, con el fin de adquirir la base necesaria para abordar los problemas planteados, un análisis pormenorizado de los resultados ya conocidos, para así establecer los puntos de partida de nuestra investigación, y el desarrollo y creación de nuevas técnicas que permitan resolver los problemas planteados.

En conclusión, podríamos decir que se han logrado sobradamente los objetivos marcados. Los problemas planteados se han podido resolver satisfactoriamente (obtención de nuevas desigualdades discretas de tipo Brunn-Minkowski y Borell-Brascamp-Lieb) y, de hecho, los cuatro trabajos de investigación y las numerosas participaciones en congresos a los que esta tesis ha dado lugar así lo demuestran. Creemos además que el contenido de esta Tesis Doctoral va a permitir un mayor desarrollo en el estudio de desigualdades discretas, gracias a las construcciones y técnicas que se han desarrollado.

The famous Brunn-Minkowski inequality establishes that the n-th root of the volume of compact (and convex) sets is a concave function. The main aim of this Doctoral Thesis is to study Brunn-Minkowski type inequalities in the discrete setting, i.e., replacing compact sets by finite sets of points, and the volume by the cardinality.

We start the dissertation establishing the basic notions that will be needed further on. Next, in this first chapter, we study the Brunn-Minkowski inequality, and we verify that it is not possible to get an "immediate translation" of it for finite sets. So, it will be needed either to change the structure of the inequality, or to modify one of the involved sets. In the last part of this chapter we analyze known discrete Brunn-Minkowski type inequalities having a different structure, specially emphasizing the Gardner & Gronchi inequality, for which we propose a new method to efficiently compute the bound.

The second chapter is devoted to determining discrete versions of the Brunn-Minkowski inequality, keeping its classical form, and so, modifying one of the involved sets. In order to do it, we consider two different constructions: in the first one we add points to one of the sets in a recursive way, whereas in the second one particular points are removed. Using this constructions we get two new discrete (equivalent) versions of the Brunn-Minkowski inequality, proving also that they imply the classical Brunn-Minkowski inequality for the volume of compact sets. We conclude the chapter by providing upper and lower bounds for the cardinality of the new sets, which shows that the number of added/removed points in these constructions is, somehow, controlled.

Finally, in the third chapter we use the previous techniques in order to obtain discrete versions of the so-called Borell-Brascamp-Lieb inequality, a functional result which generalizes the Brunn-Minkowski inequality. There exist two equivalent versions of the classical result of Borell-Brascamp-Lieb, which we introduce in the first part of the chapter. In both cases we show the corresponding discrete version, but using two different ways of measuring: the cardinality for the first one, and the lattice point enumerator in the second one. We prove that both can be also used to deduce the corresponding classical Borell-Brascamp-Lieb inequalities.

The methodology for the achievement of our objectives has been the usual one for basic research in Mathematics: the in-depth study of papers and books in Convex and Discrete Geometry, in order to attain the necessary background to address the posed questions, a detailed analysis of the previously known results, in order to establish the starting points in our research, and the development and creation of new techniques which allow us to solve the outlined problems.

In conclusion, we can say that the raised objectives have been achieved. The problems have been successfully solved (to obtain new discrete Brunn-Minkowski and Borell-Brascamp-Lieb type inequalities) and, in fact, this can be seen by the four research papers and the different communications in conferences which have arisen from this dissertation. We also believe that the content of this Ph.D. Thesis will allow further research on discrete inequalities, because of the new constructions and techniques that have been developed.