Subvariedades atrapadas en espaciotiempos lorentzianos

Abstract

Subvariedades atrapadas en espaciotiempos lorentzianos.

En esta tesis, nuestra investigación se desarrolla en el caso de subvariedades espaciales de codimensión dos, las cuales están inmersas en un cierto espaciotiempo M de dimensión n+2. Es decir, consideramos una variedad lorentziana M de dimensión n+2, temporalmente orientada y una subvariedad espacial N de codimensión dos e inmersa en M.

En este contexto nos marcamos distintos objetivos. Por un lado, tal como indicamos en el título, nuestro principal objeto de estudio son las subvariedades atrapadas. Estas subvariedades han despertado gran interés desde que Penrose las introdujese en el año 1965 en Relatividad General para el estudio de singularidades y agujeros negros. Nosotros las hemos estudiado inmersas en diferentes espaciotiempos lorentzianos: el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski (Capítulo 3), el espacio tiempo de Sitter (Capítulo 4), y la familia de espaciotiempos de Robertson-Walker generalizados (Capítulo 6).

Por otro lado, nos centramos en la situación particular en la que la subvariedad espacial de codimensión dos está contenida en una hipersuperficie nula S de un espaciotiempo M. Decimos entonces que N factoriza a través de S. Las hipersuperficies nulas contienen una geometría muy interesante y además juegan un papel muy importante en Relatividad General, donde aparecen como horizontes de sucesos de agujeros negros y como horizontes de Cauchy. En este caso, sabemos que si la subvariedad factoriza a través de una hipersuperficie nula, entonces siempre existe de manera natural una referencia normal nula, globalmente definida y que apunta hacia el futuro. En nuestro trabajo vemos que, cuando consideramos los espaciotiempo de Lorentz-Minkowski o de Sitter, esto nos va a permitir codificar las geometrías extrínseca e intrínseca de la subvariedad en términos de una única función positiva definida sobre N (Capítulos 3 y 4). En esta memoria también estudiamos (Capítulo 5) una correspondencia natural entre el cono de luz del espaciotiempo de Lorentz-Minkowski y los también llamados conos de luz de los espaciotiempos de Sitter y anti-de Sitter.

Para la demostración de los resultados obtenidos hemos utilizado, entre otras técnicas, el principio del máximo débil para el laplaciano, aplicándolo a subvariedades estocásticamente completas, y hemos estudiado la geometría de nuestras subvariedades en términos de la referencia normal nula globalmente definida cuya existencia está asegurada en el caso en el que N factoriza a través de una hipersuperficie nula.

Algunos de los resultados más relevantes son los siguientes: en el Capítulo 3 clasificamos las subvariedades espaciales de codimensión dos y totalmente umbilicales que factorizan a través del cono de luz del espaciotiempo de Lorentz-Minkowski y también damos resultados de no existencia para aquellas que son débilmente atrapadas. En el Capítulo 4, caracterizamos las subvariedades compactas y marginalmente atrapadas que factorizan a través del cono de luz del espaciotiempo de Sitter. En el Capítulo 5 establecemos una correspondencia entre los conos de luz del espaciotiempo de Lorentz-Minkowski y los conos de luz de los espaciotiempos de Sitter y anti-de Sitter. Por último, en el Capítulo 6 damos resultados de rigidez para subvariedades marginalmente atrapadas, con numerosas aplicaciones a casos de interés físico. Trapped submanifolds in Lorentzian spacetimes.

In this memory, our research is developed in the case of codimension two spacelike submanifolds which are immersed in a spacetime M of dimension n+2. That is, we consider a Lorentzian manifold M of dimension n+2 timelike oriented and a codimension two spacelike submanifold N immersed in M.

In this context we set different objetives. On the one hand, our main aim is to study trapped submanifolds. If we denote by H the mean curvature vector field of the submanifold, we say that N is trapped (resp. marginally trapped; weakly trapped) if H is timelike (resp. null; causal). This kind of submanifolds have attracted interest since Penrose introduced them in 1965 in General Relativity to study spacetime singularities and black holes. We have studied trapped submanifolds immersed in different Lorentzian spacetimes: the Lorentz-Minkowski spacetime (Chapter 3), de Sitter spacetime (Chapter 4) and the family of the general Robertson-Walker spacetimes (Chapter 6).

On the other hand, we focus on the particular situation in which the codimension two spacelike submanifold, N, is contained in a null hypersurface S of the spacetime M. We say then that the submanifold factorizes through S. Null hypersurfaces have an interesting geometry and they also play an important role in General Relativity, where they arise as black hole event horizons and Cauchy horizons. In this case, we know that if N factorizes through a null hypersurface, then there always exists a globally defined normal null frame which is future-pointing. In our work we see that, when working in the Lorentz-Minkowski spacetime or de Sitter spacetime, this allows us to codify the intrinsic and extrinsic geometries of the submanifold in terms of a unique positive function on N (Chapters 3 and 4). In this memory we also study (Chapter 5) a natural correspondence between the light cone of the Lorentz-Minkowski spacetime and the also called light cones of de Sitter and anti-de Sitter spacetimes.

To obtain our results we have used, among other techniques, the weak maximum principle for the Laplacian, applying it for the case of stochastically complete submaniolds. We have also studied the geometry of our submanifolds in terms of the globally defined normal null frame whose existence is assured in the case in which the submanifold factorizes through a null hypersurface.

Some of our more relevant results are the following. In Chapter 3 we classify codimension two totally umbilical spacelike submanifolds which fatorize through the light cone of the Lorentz-Minkowski spacetime and we also give non-existence results for those which are weakly trapped. In Chapter 4 we characterize codimension two compact marginally trapped submanifolds factorizing through the light cone of de Sitter spacetime. In Chapter 5 we establish a natural correspondence between the light cone of the Lorentz-Minkowski spacetime and the also called light cones of de Sitter and anti-de Sitter spacetimes. Finally, in Chapter 6 we give some rigidity results for marginally trapped submanifolds, with applications to some cases with physical relevance.