On the Zassenhaus conjecture for PSL(2,q), SL(2,q) and direct products

Abstract

La Conjetura de Zassenhaus para PSL(2,q), SL(2,q) y productos directos

En 1960 Zassenhaus enunció una serie de conjeturas sobre los subgrupos finitos de U(ZG) con G un grupo finito. Para todas ellas se encontraron contraejemplos durante los siguientes años pero una de ellas ha permanecido abierta durante mucho tiempo. Se trata de la conjetura que pretende describir los elementos de torsión de U(ZG). Claramente los conjugados en QG de los elementos de G y sus opuestos son de torsión y la Conjetura de Zassenhaus (ZC1) predice que todos los elementos de torsión de ZG son de esta forma.

(ZC1) ha sido verificada para todos los grupos de orden menor que 144, Weiss la demostró para grupos nilpotentes y Hertweck para grupos metacíclicos. Este resultado fue extendido para grupos cíclico-por-abeliano. Poco antes de completar esta tesis, un contraejemplo metabeliano fue anunciado por Eisele y Margolis. En vista de este contraejemplo, versiones más débiles han tomado más protagonismo. Destacamos el Problema de Kimmerle que pretende decidir si todas las unidades de U(ZG) son conjugadas de un elemento de G en U(QH) para un grupo H que contenga a G como subgrupo.

Los objetivos de la tesis han sido:

1) Estudiar (ZC1) para los grupos PSL(2,q) y SL(2,q).

2) Desarrollar nuevos métodos para tratar (ZC1).

3) Estudiar (ZC1) y el Problema de Kimmerle para productos directos.

Para los objetivos 1) y 2) se estudiaron ejemplos demostrados con el Método HeLP. Como consecuencia, en esta tesis se calcula cómo de lejos se puede llegar utilizando el Método HeLP para unidades con orden 2t en ZPSL(2,q), con t un primo impar. También se ha demostrado que toda unidad de torsión de ZPSL(2,q) con orden coprimo con 2q es conjugada en QG de un elemento de PSL(2,q). Para ello se ha desarrollado una nueva versión del Método HeLP adaptada a los caracteres de PSL(2,q). Como consecuencia, se demuestra (ZC1) para los grupos PSL(2,p) con p un primo de Fermat or Mersenne. Esto aumenta el número de grupos simples no abelianos para los cuales se verifica (ZC1) de 13 hasta al menos 62 grupos.

También se estudió si las técnicas empleadas en los grupos PSL(2,q) servían para tratar los grupos SL(2,q). Se profundizó en la Teoría de Representaciones Modulares buscando que estas ideas sirvieran para tratar grandes familias de grupos. En esta tesis se ha logrado demostrar que toda unidad de torsión de ZSL(2,q) con orden coprimo con q es conjugada en QG de un elemento de SL(2,q). Esto dio lugar a la demostración de (ZC1) para los grupos SL(2,p) y SL(2,p²) con p un primo. Ésta es la primera familia infinita de grupos no resolubles para los cuales se ha demostrado (ZC1).

Para el objetivo 3), se estudió si las técnicas empleadas por Hertweck podrían ser adaptadas para tratar el producto directo de grupos. Se ha demostrado (ZC1) para el producto directo de un grupo abeliano finito y un grupo finito de Frobenius con complementos metacíclicos. También se extendió el Método HeLP para anillos de grupo con coeficientes en un anillo de enteros algebraicos, teniendo como objetivo estudiar (ZC1) para el producto directo de un grupo abeliano finito y un grupo con orden menor que 95.

También se ha resuelto el Problema de Kimmerle para los contraejemplos de (ZC1) encontrados por Eisele y Margolis y para los grupos con una torre de Sylow, en particular para los grupos superresolubles. On the Zassenhaus Conjecture for PSL(2,q), SL(2,q) and direct products

In 1960 Zassenhaus proposed several conjectures about the finite subgroups of U(ZG) where G is a finite group. Counterexamples for most of them appeared during the following years but one of them was opened for a long time. It was the conjecture which pretend to describe the torsion elements of U(ZG). Clearly, the conjugates in QG of the elements of G and their opposite have finite order and the Zassenhaus Conjecture (ZC1) predicts that every torsion element of ZG is of this form.

(ZC1) has been proved for groups of order at most 144, for nilpotent groups by Weiss and for metacyclic groups by Hertweck. This result was extended to cyclic-by-abelian groups. Before finishing this thesis, a metabelian counterexample to (ZC1) was announced by Eisele and Margolis. As a consequence, weaker versions are gaining importance. We point out the Kimmerle Problem which tries to decide whether the torsion units of ZG are conjugate to elements of G in U(QH) for a group H containing G as subgroup.

The goals of this thesis have been:

1) Study (ZC1) for the groups PSL(2,q) and SL(2,q).

2) Develop new methods to deal with (ZC1).

3) Study (ZC1) and the Kimmerle Problem for direct products.

To reach goals 1) and 2), examples proved using only the HeLP Method were studied. In this thesis it has been calculated how far one can go after applying the HeLP Method for units of order 2t in ZPLS(2,q), with t an odd prime. It is also proved that every torsion unit of ZPSL(2,q) of order coprime with 2q is conjugate in QG to an element of PSL(2,q). For this, a new version of the HeLP Method suitable to the characters of PSL(2,q) was developed. As a consequence, it is proved (ZC1) for the groups PSL(2,p) with p a Fermat or Mersenne prime. This result increases the number of non-abelian simple groups for which (ZC1) holds from 13 to at least 62 groups.

It is studied whether the techniques used for the groups PSL(2,q) also work to deal with (ZC1) for the groups SL(2,q). For that, the Modular Representation Theory of these groups was deeply studied with the hope that it could help to deal with larger classes of groups. In this thesis it is proved that every torsion unit of ZSL(2,q) with order coprime to q is conjugate in QG to an element of SL(2,q). This yields to the proof of (ZC1) for the groups SL(2,p) and SL(2,p²) with p a prime. This is the first infinite family of non-solvable groups for which (ZC1) has been proved.

Regarding goal 3), it is studied whether the techniques used by Hertweck could be adapted to deal with direct products. As a consequence, it is proved (ZC1) for the direct product of an abelian finite group and a finite Frobenius group with metacylic complements. The classical HeLP Method was also extended to group rings where the coefficients are coming from ring of algebraic integers in order to study (ZC1) for the direct product of an abelian finite group and a group whose order is at most 95.

In this thesis, the Kimmerle Problem was solved for the counterexamples to (ZC1) obtained by Eisele and Margolis and for groups with a Sylow tower, in particular for supersolvable groups.