Sobre el satélite en rotación rápida. Comparación forma cerrada vs. desarrollos.

Abstract

Esta Memoria aborda el estudio de la dinámica de actitud de un sólido rígido triaxial (parte integrable) bajo la acción de lo que se conoce como gravity-gradient torque (perturbación). El sistema así constituido resulta ser uno de los modelos básicos no integrables válidos para analizar el movimiento tanto de satélites artificiales como de otros cuerpos naturales.

Una forma muy común de abordar este tipo de problemas es llevar a cabo lo que se conoce como la reducción completa de la parte integrable considerada como orden cero. En ese sentido se han propuesto en la literatura distintos conjuntos de variables tomando como base las variables de Andoyer. Así, el principal objetivo de este trabajo es mostrar el comportamiento de dos conjuntos diferentes de estas variables que pueden presentar ciertas propiedades que las hacen más o menos adecuadas para el estudio de una perturbación. El primer conjunto, conocido como variables de ángulo-acción, fue introducido por Sadov, el cual será comparado con un nuevo conjunto propuesto recientemente por Ferrer y Lara.

Además del capítulo introductorio, en el Capítulo 2 se realiza una revisión del sólido libre. La integración del problema no perturbado se da en variables de Andoyer, las cuales se emplearán para llevar a cabo la reducción completa del problema. Por otra parte, este Capítulo 2 recoge en detalle la idea de llevar a cabo la integración del problema realizando una regularización consistente en un cambio de la variable independiente (el tiempo). En ambas integraciones se ofrecen detalles sobre la manipulación de las funciones elípticas involucradas. El capítulo finaliza con una sección donde se recoge el estudio de las fases del problema.

El Capítulo 3 muestra cómo se lleva a cabo la reducción completa del problema resolviendo la ecuación de Hamilton-Jacobi a la Poincaré. Dado que existen distintas variables intermedias que permiten resolver las cuadraturas existentes, utilizamos una diferente a la propuesta por Sadov para deducir un conjunto alternativo de variables de ángulo-acción cuya bondad dependerá del tipo de perturbación que se esté manejando. Finalmente se presentan las ecuaciones de transformación expresadas en términos de funciones Theta de Jacobi.

En el Capítulo 4 se realiza una aproximación en forma cerrada de primer orden del problema perturbado donde se muestra, no sólo el modo en que se manejan las funciones elípticas bajo el método de perturbación, sino también las diferencias existentes cuando éstas se analizan empleando los dos conjuntos diferentes de variables estudiados en esta Memoria. A su vez, el Capítulo 5 emula al Capítulo 4 con el objetivo de comparar las soluciones analíticas y numéricas dadas por un desarrollo en serie de la función perturbación. En este sentido, dado que anteriores trabajos han llevado a cabo desarrollos en serie de Fourier, en esta Memoria exploramos la posibilidad de llevar a cabo series de Taylor de funciones elípticas previamente expresadas en términos de funciones Theta de Jacobi.

Los resultados muestran que la aplicación de ambos conjuntos de variables a la perturbación tratada difiere esencialmente en el hecho de que la derivada de la función Zeta de Jacobi con respecto al módulo elíptico, presente en las ecuaciones de transformación, no es periódica en variables Ferrer-Lara, lo cual produce un efecto rizado creciente en la evolución temporal de las variables del problema que no se observa en las variables de ángulo-acción.This Memoir focuses on the attitude dynamics of a triaxial rigid body (integrable part) under gravity-gradient torque (perturbation), which is considered one of the basic nonintegrable models to analyze the attitude propagation of artificial satellites, although this approximation is also valid to describe the motion of natural bodies.

A common way to tackle such approximations is to accomplish the complete reduction of the integrable part considered as the zero order. Different sets of variables have been proposed in the literature in order to address such analytical approximation, most of them starting from Andoyer variables. Thus, the main goal of this work is to show the behaviour of two different sets of these variables which may present a number of properties which can make them more or less suitable for the study of a perturbation. The first set, well known as action-angle variables, was introduced by Sadov and we will compare it with a new set recently proposed by Ferrer and Lara.

Apart from the Introduction, in Chapter 2 the free rigid body dynamics is revisited. The integration of the torque-free motion is given in Andoyer variables, which will be used to accomplish the complete reduction of the torque-free motion. Some details on the manipulation of the involved elliptic functions are also given. Furthermore, a different way to address the integration of the free rigid body problem is carried out by a regularization of time. Finally, due to a renewal of interest in geometric aspects of the rigid body dynamics, a study of the phases of the problem is also included.

Chapter 3 shows how the complete reduction is carried out by solving the Hamilton-Jacobi-Poincaé equation. Moreover, an alternative intermediary variable is used to build up a new set of action-angle variables which may be utilized for the study of a number of perturbations.\par

Next, a first-order closed form solution of the perturbed problem is presented in Chapter 4 where it is shown not only the way to handle the elliptic functions under a perturbation method but also the existing differences when analyzing them using the two different sets of variables given by Sadov and Ferrer-Lara. In turn, Chapter 5 emulates Chapter 4 in order to compare the analytical and numerical solutions given by a series expansion of the perturbing function. In this sense, since other previous works have carried out expansions as Fourier Series, in this work we explore the possibility of developing Taylor expansions of the elliptic functions previously expressed in terms of Jacobi Theta functions.

The results show that the application of both sets of variables to the perturbing function differs in the fact that the partial derivative of the Jacobi Zeta function with respect to the elliptic modulus, which is present in the transformation equations, is not periodic in Ferrer-Lara variables. This fact produces an increasing curly effect along the evolution of the variables of the problem which is not observed when action-angle variables are used.