Dynamical aspects of k-order difference equations

Abstract

La tesis doctoral "Aspectos dinámicos de ecuaciones en diferencias finitas de orden k" se centra en el estudio de diferentes propiedades dinámicas de las ecuaciones en diferencias, especialmente del caso autónomo e incluso de sistemas de ecuaciones en diferencias de primer orden. El estudio de dichas propiedades es fundamental para conocer el comportamiento de las soluciones a largo plazo y poder describir así los modelos que se ajustan a dichas ecuaciones. Entre las propiedades analizadas cabe destacar las siguientes: convergencia, periodicidad, periodicidad global, conjuntos de acumulación, invarianza, estabilidad, bifurcaciones o permanencia. Objetivos Objetivo principal: Investigar aspectos dinámicos de las ecuaciones en diferencias de orden k. Objetivos específicos: O1.- Estudiar la convergencia de las soluciones de ciertas familias de ecuaciones en diferencias. O2.- Abordar cuestiones de la dinámica de ecuaciones racionales (periodicidad global, semiciclos y oscilación, invariantes...). O3.- Buscar y analizar nuevas familias de ciclos. O4.- Estudiar el carácter periódico de las soluciones de determinadas ecuaciones en diferencias de tipo max. O5.- Examinar las aplicaciones de las ecuaciones en diferencias de tipo max. O6.- Analizar las propiedades dinámicas de modelos poblacionales. Metodología Revisión bibliográfica. Asistencia a seminarios. Participación en congresos. Elaboración de trabajos propios. Realización de estancias predoctorales en universidades extranjeras. Resultados y conclusiones La disertación recoge una colección de resultados novedosos y originales que el estudiante ha desarrollado a lo largo de sus estudios doctorales. En concreto, destacamos los siguientes. Relativo a la convergencia, se generaliza el conocido Teorema de la Convergencia Monótona de Lebesgue intercambiando la condición de monotonía por una desigualdad convexa de tipo Copson (Teorema A). A continuación, se analiza el fenómeno de la periodicidad global a través de la búsqueda de nuevos ciclos de la familia x_(n+3)=x_i f(x_j,x_k) con i,j,k en {n,n+1,n+2} distintos dos a dos y f continua. Se demuestra que en el caso de f simétrica no existen 6-ciclos, Teorema B; mientras que en el caso de separación de variables, el único 6-ciclo que existe viene dado por x_(n+3)=x_n (x_(n+2)/x_(n+1))^2, Teorema C. Respecto a las ecuaciones en diferencias tipo max, se estudian y analizan por completo las soluciones de la ecuación de orden cuatro x_(n+4)=max(x_(n+3),x_(n+2),x_(n+1),0)-x_n. El Teorema D se centra en las soluciones periódicas y describe por completo el conjunto de periodos de dicha ecuación. Por otro lado, el análisis del comportamiento de las soluciones no periódicas deriva en la descripción de los puntos de acumulación de dichas soluciones que resultan ser intervalos compactos de la recta real, Teorema E. Seguidamente, se establece la existencia de una conjugación topológica entre una familia de ecuaciones en diferencias con máximo y las conocidas como ecuaciones generalizadas de Lozi, que son ecuaciones lineales a trozos, Teoremas F y G. Utilizamos dicha conjugación topológica para determinar la dinámica de dos ecuaciones generalizadas de Lozi y sus correspondientes familias de ecuaciones tipo max en los Teoremas H e I. En concreto, en uno de los casos se establece que existe un único punto de equilibrio, un continuo de soluciones 2-periódicas, y que el resto de soluciones converge a una de dichas soluciones 2-periódicas; mientras que, en el otro, se demuestra la existencia de un único punto de equilibrio que es un atractor global. Finalmente, estudiamos un modelo poblacional descrito por un sistema de ecuaciones en diferencias de primer orden definido por: H_(n+1)=aH_n e^r(1-H_n)f(bP_n ), P_(n+1)=cH_n (1-f(P_n)), donde a,b,c,r son números reales positivos, las sucesiones (H_n) y (P_n) representan a la cantidad de huéspedes y parásitos del modelo en cada estado, y f es una función de probabilidad arbitraria satisfaciendo un conjunto de condiciones que surgen de manera natural de la relación entre huéspedes y parásitos. Para este modelo establecemos la acotación uniforme de las soluciones, probamos la existencia de tres puntos de equilibrio diferentes y estudiamos su estabilidad local, por ejemplo, el Teorema J determina la estabilidad del punto de equilibrio de coexistencia. Además, probamos analíticamente la ocurrencia de distintos tipos de bifurcaciones, a saber, periodo-doble, transcrítica y Neimark-Sacker (la prueba de esta última puede consultarse en el Teorema K). Seguidamente se prueba la permanencia del sistema en los Teoremas L y M y, por último, se realizan simulaciones numéricas con funciones de probabilidad concreta para ilustrar los resultados teóricos obtenidos. En definitiva, la tesis doctoral recoge numerosos resultados novedosos en la materia que esperamos sirvan para avanzar en el estudio de las ecuaciones en diferencias autónomas. A su vez, cabe destacar el empleo de diferentes técnicas aprendidas a lo largo de los estudios de doctorado del estudiante.

The PhD Thesis "Dynamical Aspects of k-order Difference Equations" focuses on the study of various dynamical properties of difference equations, especially the autonomous case and even systems of first-order difference equations. The study of these properties is fundamental for understanding the long-term behaviour of the solutions and thus being able to describe the models that fit these equations. The properties analyzed include the following: convergence, periodicity, global periodicity, accumulation sets, invariance, stability, bifurcations and permanence. Objectives Main objective: To research dynamical aspects of k-order difference equations. Specific objectives: O1.- To study the convergence of the solutions of certain families of difference equations. O2.- To address issues in the dynamics of rational equations (global periodicity, semicycles and oscillation, invariants.). O3.- To analyze and search for new families of cycles. O4.- To study the periodic character of the solutions of certain max-type difference equations. O5.- To examine the applications of the max-type difference equations. O6.- To analyze the dynamical properties of population models. Methodology Literature review. Attendance at seminars. Participation in conferences. Preparation of original work. Realization of predoctoral stays at foreign universities. Results and conclusions The dissertation presents a collection of novel and original results that the student has developed throughout his doctoral studies. Specifically, we highlight the following: Regarding convergence, the well-known Monotone Convergence Theorem of Lebesgue is generalized by exchanging the monotonicity condition for a Copson-type convex inequality, Theorem A. Next, the phenomenon of global periodicity is studied through the search of new cycles for the family x_(n+3)=x_i f(x_j,x_k) with i,j,k in {n,n+1,n+2} pairwise distinct and f continuous. It is proven that if f is symmetric, there are no 6-cycles displaying such form, Theorem B; while in the case of separation of variables, the unique 6-cycle that exists is given by x_(n+3)=x_n (x_(n+2)/x_(n+1))^2, Theorem C. Regarding the max-type difference equations, the solutions of the fourth-order equation x_(n+4)=max(x_(n+3),x_(n+2),x_(n+1),0)-x_n are thoroughly studied and analyzed. Theorem D focuses on the periodic solutions and fully describes the set of periods of this equation. On the other hand, the analysis of the behaviour of non-periodic solutions leads to the description of the accumulation points of these solutions, which turn out to be compact intervals of the real line, Theorem E. Next, the existence of a topological conjugacy between a family of difference equations with maximum and those known as generalized Lozi equations, which is a piecewise linear equation, is established, Theorems F and G. We use this topological conjugacy to determine the dynamics of two generalized Lozi equations and their corresponding families of max-type equations in Theorems H and I. Specifically, in one case, it is established that there exists a unique equilibrium point, a continuum of 2-periodic solutions, and that the rest of the solutions converge to one of these 2-periodic solutions; while, in the other case, the existence of a unique equilibrium point that is a global attractor is demonstrated. Finally, we study a population model described by a system of first-order difference equations defined by: H_(n+1)=aH_n e^r(1-H_n )f(bP_n), P_(n+1)=cH_n (1-f(P_n)), where a,b,c,r are positive real numbers, the sequences (H_n) and (P_n) represent the quantity of hosts and parasitoids of the model in each state, and f is an arbitrary probability function satisfying some conditions that arise naturally from the relationship between hosts and parasitoids. For this model we establish the uniform boundedness of their solutions, we prove the existence of three equilibrium points and we study their local stability, for instance, Theorem J determines the stability of the coexistence equilibrium. Moreover, we prove analytically the occurrence of diverse types of bifurcations, namely, period-doubling, transcritical and Neimark-Sacker (the proof of the last one can be consulted in Theorem K). As a next step, the permanence of the system is proven in Theorems L and M and, finally, we develop numerical simulations with particular probability functions in order to illustrate the theoretical results obtained. In summary, this PhD thesis gathers numerous novel results in the field that we hope will contribute to advancing the study of autonomous difference equations. It is worth noting the use of various techniques learned throughout the student's doctoral studies.