The isomorphism problem for rational group rings of finite metacyclic groups

Abstract

El objetivo principal de esta tesis es presentar una solución al problema de isomorfismo para anillos de grupo. Este problema pregunta si, dados dos anillos de grupo isomorfos definidos sobre el mismo anillo, ha de ser necesario que los grupos base de los anillos de grupo sean isomorfos también. En concreto, se ha trabajado con anillos de grupo racionales sobre grupos metacíclicos finitos. La metodología empleada ha consistido en ir de más específico a más general. Se ha comenzado con el caso en el que los grupos sean p-grupos y se ha utilizado la clasificación preexistente de p-grupos metacíclicos finitos. Después, para la generalización a nilpotentes se ha utilizado teoría de Galois junto con la identificación de las componentes de Wedderburn de los anillos de grupo racionales de grupos metabelianos con pares de Shoda fuertes del grupo dado. Estas herramientas se han vuelto a utilizar para el caso general. Los resultados obtenidos han sido los siguientes. Primero, una clasificación general de los grupos metacíclicos finitos, orientada a dar unos invariantes claros con los que trabajar para resolver el problema original. También se ha construido una implementación en GAP de un paquete de funciones destinado a obtener los invariantes de un grupo metacíclico finito cualquiera, entre otras funcionalidades. Por último, el resultado principal de la tesis es la prueba de que si dos anillos de grupo racionales sobre grupos metacíclicos finitos son isomorfos, necesariamente los grupos han de ser isomorfos también. La tesis está organizada como sigue: En el primer capítulo se introducen los conceptos y la notación que se usarán a lo largo del resto del documento, además de presentar brevemente la ya mencionada correspondencia entre las componentes de Wedderburn de los anillos de grupo racionales de grupos metabelianos con ciertos subgrupos del grupo denominados pares de Shoda, esta correspondencia se utiliza constantemente en el resto de la tesis. El segundo capítulo está destinado a demostrar la clasificación de los grupos metacíclicos finitos, necesaria para la prueba del resultado sobre el caso general del problema del isomorfismo. La clasificación sigue una estrategia similar a la dada por Hempel en 2000. Se diferencia principalmente en los invariantes dados, que dan lugar a una implementación más directa. El tercer capítulo está destinado a la prueba del resultado positivo para los casos p-grupo y nilpotente. Así, el procedimiento consiste en usar información del grupo que puede encontrarse en el álgebra de grupo, como el tamaño y el número de clases de conjugacion, para determinar los invariantes que definen el grupo. Esto puede hacerse pues se tiene una clasificación de los p-grupos metacíclicos finitos con unos invariantes sencillos de manejar. La mayoría de casos proceden de forma directa y para los casos que se complican se utiliza la correspondencia de las componentes de Wedderburn con los pares de Shoda. Para acabar con el caso nilpotente probamos que este caso puede reducirse al caso de p-grupos. En el último capítulo tratamos el caso general: Probar que el anillo de grupo determina cada uno de los invariantes del grupo, que en el capítulo 2 hemos probado que son suficientes para identificar el grupo. Cada uno de los invariantes se demuestra (salvo detalles) siguiendo un procedimiento similar: Suponemos que tenemos dos anillos de grupo isomorfos que pueden venir de distintos grupos y buscamos componentes de Wedderburn determinadas en el anillo de grupo que dependan del parámetro en cuestión, encontramos unos subgrupos de Shoda que puedan corresponderse con esas componentes y restringiendo lo suficiente las condiciones sobre las componentes podemos ver que para que haya subgrupos en los dos grupos el invariante ha de ser igual.

The main goal of this thesis is to present a solution to the isomorphism problem for group rings. This problem asks whether two isomorphic group rings over the same ring have necessarily isomorphic base groups. Specifically, we have worked with rational group rings over metacyclic finite groups. The methodology used has been going from specific to general. We have started with the case in which the groups are p-groups and we have used a preexisting classification of finite metacyclic p-groups. Afterwards, for the generalization to nilpotent, we have used Galois Theory together with the identification of the Wedderburn components of the rational group rings of metabelian groups with strong Shoda pairs of the group. These tools have been used again for the general case. The obtained results are the following. First, a general classification of finite metacyclic groups, oriented to giving clear invariants to work with in order to solving the original problem. We have also built an implementation, a GAP package of functions destined to obtain the invariants of any finite metacyclic group, among other functionalities. Lastly, the main result of the thesis is the proof that if two rational group rings over metacyclic finite groups are isomorphic, then necessarily the groups must be isomorphic too. The thesis is organized as following: In the first chapter we introduce the concepts and notation that will be used throughout the rest of the document, in addition to presenting briefly the already mentioned correspondance between the Wedderburn components of rational group rings of finite metabelian groups with certain subgroups of the group called Shoda pairs, this correspondance is used constantly during the rest of the thesis. The second chapter is destined to prove the classification of finite metacyclic groups, needed for the proof of the result of the general case of the isomorphism problem. The classification follows a similar strategy to the one given by Hempel in 2000. The main difference is the invariants given, which give a more direct implementation. The third chapter is destined to the proof of the positive result for the nilpotent and p-group cases. This way, the proceeding consists in using information of the group which can be obtained from the group ring, as the size of the group and the number of conjugacy classes, to determine the invariants defining the group. This is possible in this case as we alredy have a classification of the finite metacyclic p-groups with easy-to-handle invariants. The majority of the cases follow directly and for the more complicated ones we use the correspondence of the Wedderburn components with the Shoda pairs. To end with the nilpotent case we prove that it can be reduced to the p-group case. In the last chapter, we treat the general case: Proving that the group ring determines each of the sufficient invariants determined in the second chapter. For each of the invariants the process is similar except for the details: We assume that we have two isomorphic group rings with maybe not isomorphic groups and we look for specific Wedderburn components of the group ring which depend on the invariant parameter in question, we then find Shoda subgroups which correspond to these componets and restricting enough the conditions over the components we prove that for there to be subgroups in both groups the invariant must be equal.