Super weak compactness and its applications to Banach space theory

Abstract

El principal objetivo de esta tesis fue el estudio de la super compacidad débil, la cual corresponde a versión la localizada de la superreflexividad. Esta noción está fuertemente relacionada con la existencia de funciones uniformemente convexas, por lo que la primera parte de este trabajo está dedicada al estudio de estas funciones. En particular, proponemos métodos discretos, basados en la inexistencia de árboles diádicos, para construir funciones uniformemente convexas cuyas propiedades serán mejoradas más adelante. Una consecuencia importante es una prueba alternativa del teorema de Enflo. Muchos trabajos contienen estimaciones de la super compacidad débil sin saberlo, por ejemplo, la super compacidad débil y su cuantificación arrojan luz sobre la estructura de los subespacios de los espacios de Banach generados por un espacio de Hilbert. Adicionalmente, se establecen nuevas caracterizaciones de los conjuntos SWC, en términos de puntos fijos o propiedades ergódicas, mejorando así los resultados ya existentes.

La super compacidad débil también está fuertemente relacionada con las propiedades de Banach-Saks. Se introduce la noción de propiedad uniforme de Banach-Saks, la cual se caracteriza de diferentes maneras. En particular, mostramos que es equivalente a la propiedad p-Banach-Saks y determinamos con precisión el valor de este índice p.

Los siguientes capítulos parecen alejarse del tema anterior, sin embargo, son consecuencias del estudio de la super compacidad débil. Estudiamos la estructura extremal de los ultraproductos de conjuntos acotados. Establecemos varios resultados de estabilidad relativos a la estructura extremal, por ejemplo, ampliamos algunos resultados de Talponen mostrando que un punto de un conjunto convexo acotado es fuertemente extremo si y sólo si su imagen canónica en el ultraproducto es (fuertemente) extrema. Además, demostramos que los puntos extremos y fuertemente extremos del ultraproducto coinciden. Se establecen resultados similares para los puntos expuestos.

En los siguientes capítulos, nos centramos en los espacios Lipschitz libres. En primer lugar, estudiamos los espacios Lipschitz libres sobre ultraproductos de espacios métricos. En particular, demostramos que si un espacio métrico es finitamente representable en un espacio de Banach, entonces los espacios libres verifican una relación similar. A continuación, obtenemos interesantes resultados relativos a la existencia de cotas en espacios Lipschitz libres. En el siguiente trabajo, demostramos que varias propiedades clásicas de los espacios de Banach son equivalentes a la separabilidad para la clase de espacios Lipschitz libres. En particular, la cuestión de si los espacios Lipschitz libres no separables pueden tener una bola dual secuencialmente compacta débil∗ es indecidible. También proporcionamos un ejemplo de un espacio Lipschitz libre dual no separable que no tiene la propiedad Radon-Nikodym.

El último capítulo trata de aproximaciones en espacios Lp, en el cual demostramos que los conjuntos de funciones simples que toman un número fijo de valores son proximales. Introducimos y estudiamos una clase de conjuntos, llamados conjuntos uniformemente aproximables, que es más amplia que la clase de conjuntos uniformemente integrables. Se establecen diferentes caracterizaciones de estos conjuntos y diferentes propiedades de estabilidad.

The main objective of the thesis is the study of the localized version of superreflexivity: the super weak compactness. This notion is strongly related to the existence of uniformly convex functions and the first part of the paper is devoted to the study of these functions. In particular, we propose discrete methods, based on the nonexistence of dyadic trees, to construct uniformly convex functions whose properties will be improved later. As an important consequence we obtain an alternative proof of Enflo's theorem. Many papers contain estimates of the super weak compactness unknowingly. For example, the super weak compactness and its quantization cast light on the structure of subspaces of Banach spaces generated by a Hilbert space. New characterizations of SWC sets, in terms of fixed points or ergodic properties, are established, thus improving existing results.

The super weak compactness is also strongly related to Banach-Saks properties. The notion of uniform Banach-Saks property is introduced and characterized in different ways. In particular, we show that it is equivalent to the p-Banach-Saks property and we determine precisely the value of this p-index.

The following parts seem to depart from the previous topic, but in fact they are consequences of the study of the super weak compactness. We study the extremal structure of ultraproducts of bounded sets. We establish several stability results concerning the extremal structure. For example, we extend some results of Talponen by showing that a point of a bounded convex set is strongly extreme if and only if its canonical image in the ultraproduct is (strongly) extreme. Furthermore, we show that the extreme points and strongly extreme points of the ultraproduct coincide. Similar results are established for the exposed points.

In the following sections, we focus on Lipschitz free spaces. First, we study Lipschitz free spaces over ultraproducts of metric spaces. In particular, we show that if a metric space is finitely representable in a Banach space then the corresponding free spaces verify a similar relation. Next, we obtain interesting results concerning the existence of cotype in Lipschitz free spaces. In the following paper, we show that several classical properties of Banach spaces are equivalent to separability for the class of Lipschitz free spaces. In particular, the question of whether nonseparable Lipschitz free spaces can have a sequentially compact sequentially weak∗ dual ball is undecidable. We also provide an example of a nonseparable dual Lipschitz free space that does not have the Radon-Nikodym property.

The last chapter deals with approximations in Lp spaces. We show that the sets of simple functions taking a fixed number of values are proximal. We introduce and study a class of sets, called uniformly approximable sets, which is larger than the class of uniformly integrable sets. Different characterizations of these sets and different stability properties are established.