Free Banach lattices over Banach spaces and ordered sets

Abstract

Objetivos de la tesis: El principal objetivo de la tesis es profundizar en el estudio de los retículos de Banach. Más concretamente, se trata de investigar cómo es la estructura de los retículos de Banach libres generados por espacios de Banach y conjuntos ordenados, si bien nos centramos en el caso particular de los conjuntos linealmente ordenados.

El concepto de objeto libre es bien conocido, puede expresarse en el lenguaje general de la teoría de categorías, y se ha probado de gran utilidad en diversas áreas tanto en análisis como en álgebra. Sin embargo, en el contexto de los retículos de Banach su introducción ha sido reciente. Ben de Pagter y Anthony William Wicksetad lo introducieron por primera vez en 2015, definiéndose tal concepto para conjuntos, y Antonio Avilés, José Rodríguez y Pedro Tradacete lo generalizaron para espacios de Banach.

En la tesis, en primer lugar, nos planteamos el estudio del retículo de Banach libre generado por un retículo. Estudiamos la existencia y unicidad de tal objeto y lo describimos como un cierto espacio de funciones con una cierta norma y un cierto orden.

La estructura reticular de los retículos de Banach libres nos da pie al estudio de condiciones de cadena, análogamente a como se hace en el contexto de los espacios topológicos y las álgebras de Boole. En concreto, estudiamos la condición de cadena σ-acotada para los retículos de Banach libres generados por espacios de Banach, y la condición de cadena contable para los retículos de Banach libres generados por conjuntos linealmente ordenados.

Finalmente, estudiamos qué retículos de Banach son proyectivos, respondiendo a su vez a preguntas planteadas por Ben de Pagter y Anthony William Wickstead en su artículo sobre retículos de Banach libres y proyectivos.

- Metodología: La metodología seguida es la propia de la investigación en matemáticas, que consiste en la búsqueda constante de nuevas ideas para abordar los problemas que se plantean, para lo que es fundamental el estudio de la literatura pero también la discusión y el intercambio de ideas entre colaboradores y con los principales expertos en la materia. En ese sentido, nuestro plan de trabajo ha incluido:

* Reuniones de trabajo con otros colaboradores y expertos en nuestra área de investigación.

* Asistencia a congresos.

- Resultados: Los resultados obtenidos en la tesis son, entre otros, los siguientes:

* Demostración de la existencia y unicidad del retículo de Banach libre generado por un retículo.

* El retículo de Banach libre generado por un conjunto linealmente ordenado satisface la condición de cadena contable si, y solo si, el conjunto linealmente ordenado es isomorfo a un subconjunto de la recta real.

* El retículo de Banach libre generado por un espacio de Banach satisface la condición de cadena σ-acotada.

* El retículo de Banach libre generado por un retículo finito es proyectivo, mientras que el generado por un conjunto linealmente ordenado infinito no lo es.

* Demostramos que si un retículo de Banach es proyectivo, entonces toda sucesión acotada que pueda ser llevada vía un homomorfismo de retículos de Banach a la base canónica de c0 de manera sobreyectiva debe contener una l1-subsucesión, de donde obtenemos, en particular, que ni c0 ni lp (para 2 ≤ p < ∞) son proyectivos.

* Demostramos que si E es un espacio de Banach con la propiedad de que el retículo de Banach libre generado por él es proyectivo, entonces E tiene la propiedad de Schur.

* Demostramos que C(K) es proyectivo si, y solo si, K es un retracto de entornos absoluto en la categoría de los espacios topológicos compactos de Hausdorff.

- Objectives of the thesis: The main objective of the thesis is to deepen the study of the Banach lattices. More specifically, it is about investigating the structure of the free Banach lattices generated by Banach spaces and ordered sets, although we focus on the particular case of linearly ordered sets.

The concept of free object is well known, can be expressed in the general language of the theory of categories, and has been proved very useful in various areas in both analysis and algebra. However, in the context of Banach lattices, it has been recently introduced. Ben de Pagter and Anthony William Wicksetad introduced it for the first time in 2015, defining such a concept for sets, and Antonio Avilés, José Rodríguez and Pedro Tradacete generalized it for Banach spaces.

In the thesis, first, we study the free Banach lattice generated by a lattice. We study the existence and uniqueness of such an object and describe it as a certain space of functions with a certain norm and a certain order.

The lattice structure of free Banach lattices gives rise to the study of chain conditions, analogously to how it is done in the context of topological spaces and Boolean algebras. Specifically, we study the σ-bounded chain condition for free Banach lattices generated by Banach spaces, and the countable chain condition for free Banach lattices generated by linearly ordered sets.

Finally, we study which Banach lattices are projective, in turn answering questions posed by Ben de Pagter and Anthony William Wickstead in their article on free and projective Banach lattices.

- Methodology: The methodology followed is that of research in mathematics, which consists of the constant search for new ideas to address the problems that arise, for which the study of literature is fundamental, but also the discussion and exchange of ideas among collaborators and with leading experts in the field. In this sense, our work plan has included:

* Work meetings with other collaborators and experts in our research area.

* Attendance at conferences.

- Results: The results obtained in the thesis are, among others, the following:

* Proof of the existence and uniqueness of the free Banach lattice generated by a lattice.

* The free Banach lattice generated by a linearly ordered set satisfies the countable chain condition if, and only if, the linearly ordered set is isomorphic to a subset of the real line.

* The free Banach lattice generated by a Banach space satisfies the σ-bounded chain condition.

* The free Banach lattice generated by a finite lattice is projective, while that generated by an infinite linearly ordered set is not.

* We show that if a Banach lattice is projective, then every bounded sequence that can be mapped by a Banach lattice homomorphism onto the basis of c0 must contain an l1-subsequence, from which we obtain, in particular, that neither c0 nor lp (for 2 ≤ p < ∞) are projective.

* We show that if E is a Banach space with the property that the free Banach lattice generated by it is projective, then E has the Schur property.

* We show that C (K) is projective if, and only if, K is an absolute neighbourhood in the category of compact Hausdorff topological spaces.