Métodos estocásticos paro problemas de Dirichlet

Abstract

Formulamos un principio débil de máximo, para operadores diferenciales de tipo elíptico, con condiciones algo más generales que otras utilizadas en la práctica. Este principio lo utilizamos para probar la unicidad de la solución de un problema de Dirichlet. Tras demostrar algunos resultados sobre matrices definidas no negativas, así como sobre la continuidad de Lipschitz de sus raíces cuadradas, vemos cómo se puede expresar la solución de ciertos problemas de contorno, del tipo de Dirichlet, por medio de funcionales de la solución de una ecuación diferencial estocástica del tipo de Itó. Utilizando estos resultados exponemos un método para resolver los anteriores problemas de contomo por medio de técnicas de simulación estadística. Al final del trabajo se dan dos ejemplos numéricos, que son ecuaciones de Laplace y Poisson sobre el círculo unidad, en los que se aplican tales métodos.