Descomposiciones y encajes en espacios de funciones= Decompositions and embeddings in function spaces

Abstract

Esta Tesis Doctoral se ubica matemáticamente en la frontera de Análisis Funcional y la Topología General, concretamente, dentro de la llamada Cp-Teoría. El objetivo principal de la misma es el estudio de las caracterizaciones de los espacios de funciones dotados de la topología de la convergencia puntual por medio de cubrimientos específicos de tales espacios. Para conseguirlo se han seguido tres líneas de investigación detalladas en la Introducción: el estudio de la dominación de espacios topológicos por espacios métricos, el de los espacios de Eberlein-Grothendieck dispersos, el de los cubrimientos conservativos de los espacios de funciones y los juegos topológicos en espacios de funciones. En cuanto a la dominación de los espacios topológicos por espacios métricos, el trabajo desarrollado se incluye en el primer capítulo y extiende resultados conocidos de Cascales, Orihuela y Tkachuk y Casclaes, Muñoz y Orihuela. En particular, durante una estancia de investigación en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Varsovia, bajo la tutela del profesor W. Marciszewski se resolvió un problema abierto publicado por Cascales, Orihuela y Tkachuk. Tal solución apareció publicada en el artículo Guerrero S. “Domination by metric spaces” Topol. Appl. 160:13, Agosto (2013) 1652-1658. El Capítulo 2 se encuentra dentro del contexto de los espacios Eberlein-Grothendieck dispersos, en él se abordó la pregunta: ¿Es cierto que cualquier espacio de Eberlein-Grothendieck disperso es unión numerable de subespacios discretos? Esta es una generalización de un cuestionamiento previamente publicado por Haydon. Al respecto se obtuvieron, en colaboración con A. Avilés, diversas respuestas parciales afirmativas, las dos principales son: Todo espacio de Eberlein-Grothendieck disperso de cardinalidad omega_1 es unión numerable de subespacios discretos si es localmente numerable o localmente compacto. Estos resultados están compilados en el artículo A. Avliés, D. Guerrero S. “Are Eberlein-Grothendieck scattered spaces sigma-discrete?” aceptado para su publicación en RACSAM. Por lo que toca a los cubrimientos conservativos y a los juegos topológicos en espacios de funciones que constituyen el tercer y último capítulo de la tesis, se demostró entre otras cosas, que si un espacio Cp(X) tiene un cubrimiento conservativo por subespacios sigma-numerablemente compactos cerrados, entonces X es finito. Esto generaliza resultados clásicos de Velichko y Shakmatov-Tkachuk. Además se establecen caracterizaciones de los espacios compactos de Eberlein, Talagrand y Gulko por medio de cubrimientos conservativos y de la existencia de estrategias ganadoras en juegos topológicos clásicos definidos en los espacios de funciones. Tales resultados y otros se encuentran publicados en los artículos D. Guerrero “Closure-preserving covers of function spaces” Comment. Math. Univ. Carolinae, 51:4 (2010), 693-703 y D. Guerrero S\'anchez, V.V. Tkachuk, “Dense subspaces vs closure-preserving covers of function spaces,” Top. Proc. 39 (2012), 219-234.

En la tesis, se incluye además una lista de problemas abiertos y las observaciones finales a manera de conclusión. SUMMARY

The present Thesis is mathematically located in the border of the Funtional Analysis and General Topology, specifically in the field of the so called Cp-Theory. The main goal of it is to study the characterizations of function spaces endowed with the pointwise convergence topology by means of specific covers they admit. In order to achieve this goal three lines of research, described in detail in the Introduction, have been pursued: the study of domination of topological spaces by metric spaces, the study of the so called Eberlein-Grothendieck scattered spaces, the study of closure-preserving covers of functionspaces and the study of topological games in function spaces. Regarding domination of topological spaces by metric spaces, the investigation developed is included in the first chapter and extends known results by Cascales, Orihuela and Tkachuk as well as Casclaes, Muñoz and Orihuela. In particular, during a research stay in the Faculty of Mathematics of the University of Warrsaw hosted by professor W. Marciszewski a solution to a problem of Cascales, Orihuela and Tkachuk was obtained. That solution appears published in the paper Gerrero S. “Domination by metric spaces” Topol. Appl. 160:13, August (2013) 1652-1658. The scope of Chapter 2 is found within the context of the Eberlein-Grothendieck scattered spaces, in that chapter the following question was considered: Is every Eberlein-Grothendieck scattered spaces a countable union of discrete subspaces? This is a generalization of a question posed by Haydon. To that respect, quite a few partial positive answers were obtained in collaborqatin with A. Avilés, the two principal are: Every Eberlein-Grothendieck scattered space of cardinality omega_1 is a countable unión of discrete spaces if it is loocally countable or locally compact. These results are collected in the paper A. Avliés, D. Guerrero S. “Are Eberlein-Grothendieck scattered spaces sigma-discrete?” accepted for publication in RACSAM. With respect to closure-preserving covers and topological games in function spaces, which are the contents of the last chapter, it was proved, among other things, that if a space Cp(X) has a closure-preserving cover by closed sigma-countably compact subspaces then X is finite. This generalizes classic results by Velichko and Shakmatov-Tkachuk. New characterizations of compact spaces of de Eberlein, Talagrand and Gulko are also obtained by means of closure-preserving covers and the existence of winning strategies in classic games defined in function spaces. Such results and others are published in the papers D. Guerrero “Closure-preserving covers of function spaces” Comment. Math. Univ. Carolinae, 51:4 (2010), 693-703 y D. Guerrero S\'anchez, V.V. Tkachuk, “Dense subspaces vs closure-preserving covers of function spaces,” Top. Proc. 39 (2012), 219-234.

The thesis includes also a list of the open problems and the final remarks in a conclusión chapter.