Estados coherentes generalizados, frames discretos y teoremas de reconstrucción

Abstract

Usando técnicas de Estados Coherentes, probamos teoremas de muestreo para funciones holomorfas sobre la esfera de Riemann, el hiperboloide y el plano complejo, vistos como espacios homogéneos de los grupos SU(2), SU(1,1) y de Heisenberg-Weyl, respectivamente. Proporcionamos fórmulas de reconstrucción como una convolución de N muestras (las raíces N-ésimas de la unidad) con un núcleo de reconstrucción (de tipo sinc) y obtenemos transformadas de Fourier discretas, lo que permite fórmulas de inversión para los operadores resolución y kernel de solapamiento haciendo uso de la Teoría de Matrices Circulantes y de Matrices Rectangulares de Fourier. Para el caso del hiperpoloide y el plano complejo, discutimos también el efecto de submuestreo, introduciendo el concepto de “pseudo-frame”, y las condiciones bajo las cuales es posible una reconstrucción parcial a partir de N muestras, así como la precisión de tal aproximación, que tiende a ser exacta cuando N tiende a infinito.

Palabras Clave

Estados Coherentes, Grupos de Lie, Funciones Holomorfas, Muestreo, Frames Discretos, Teoremas de Reconstrucción, Nyquist-Shannon, Aproximación, Transformada de Fourier Discreta.

Abstract

Using coherent-state techniques, we prove sampling theorems for holomorphic functions on the Riemann sphere, the hyperboloid (Lobachevski plane) and the complex plane, seen as homogeneous spaces of the unitary SU(2), pseudo-unitary SU(1,1) and Heisenberg-Weyl groups, respectively. We provide reconstruction formulas as a convolution product of N samples (the Nth-roots of unity) and a given reconstruction kernel (a sinc-type function) and obtain discrete Fourier transforms from these N samples, a fact which allows explicit inversion formulas for resolution and overlapping kernel operators through the theory of Circulant Matrices and Rectangular Fourier Matrices. For the hyperboloid and complex plane, we also discuss the effect of under-sampling, introducing the concept of “pseudo-frame”, and the conditions under which a partial reconstruction from N samples is still possible and the accuracy of the approximation, which tends to be exact in the limit when N tends to infinity.

Keywords

Coherent States, Lie Groups, Holomorphic functions, Sampling, Dicrete Frames, Reconstruction Theorems, Nyquist-Shannon, Approximation, Discrete Fourier Transform.