Browsing by Subject "Geometría de los números"

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    Desigualdades de tipo Brunn-Minkowski discretas
    (Universidad de Murcia, 2020-01-13) Iglesias López, David; Hernández Cifre, María de los Ángeles; Yepes Nicolás, Jesús; Escuela Internacional de Doctorado
    La famosa desigualdad de Brunn-Minkowski establece que la raíz n-ésima del volumen de conjuntos compactos (y convexos) es una función cóncava. El principal objetivo de esta Tesis Doctoral es estudiar desigualdades de tipo Brunn-Minkowski en el contexto discreto, es decir, sustituyendo los compactos por conjuntos finitos de puntos y el volumen por el cardinal. Comenzamos la memoria estableciendo las nociones básicas que se necesitarán para el posterior desarrollo de los contenidos. Además, en este primer capítulo, estudiamos la desigualdad de Brunn-Minkowski, y vemos que no es posible conseguir una “traducción inmediata” de la misma para conjuntos finitos. Así, va a ser necesario, o bien cambiar la estructura de la desigualdad, o modificar alguno de los conjuntos involucrados. En la última parte de este capítulo analizamos desigualdades discretas de tipo Brunn-Minkowski ya conocidas que tienen una estructura diferente, haciendo especial hincapié en la desigualdad de Gardner y Gronchi, para la cual proponemos un nuevo método que permite calcular la cota de manera eficiente. El segundo capítulo está dedicado a determinar versiones discretas de la desigualdad de Brunn-Minkowski manteniendo su forma clásica y, por tanto, modificando uno de los conjuntos. Para ello consideramos dos construcciones: en la primera de ellas añadimos puntos de manera recursiva a uno de los conjuntos, mientras que en la segunda suprimimos puntos de una forma concreta. Con estas construcciones conseguimos dos nuevas versiones discretas (y equivalentes) de la desigualdad de Brunn-Minkowski, probando además que éstas implican la desigualdad clásica de Brunn-Minkowski para el volumen de conjuntos compactos. Concluimos el capítulo proporcionando cotas superiores e inferiores para el cardinal de los nuevos conjuntos, lo que demuestra que el número de puntos que se añaden/eliminan en estas construcciones está, en cierta forma, controlado. Finalmente, en el tercer capítulo, utilizamos las técnicas anteriores con el fin de obtener versiones discretas de la llamada desigualdad de Borell-Brascamp-Lieb, un resultado funcional que generaliza la desigualdad de Brunn-Minkowski. Existen dos versiones equivalentes del resultado clásico de Borell-Brascamp-Lieb, que introducimos en la primera parte del capítulo. En ambos casos demostramos la correspondiente versión discreta, pero utilizando dos formas de medir diferentes: el cardinal en una de ellas y el enumerador de puntos del retículo en la otra. Se prueba que éstas también pueden usarse para deducir las respectivas desigualdades clásicas de Borell-Brascamp-Lieb. La metodología seguida ha sido la usual en un proyecto de investigación en matemáticas: el estudio en profundidad de artículos y textos en Geometría Convexa y Discreta, con el fin de adquirir la base necesaria para abordar los problemas planteados, un análisis pormenorizado de los resultados ya conocidos, para así establecer los puntos de partida de nuestra investigación, y el desarrollo y creación de nuevas técnicas que permitan resolver los problemas planteados. En conclusión, podríamos decir que se han logrado sobradamente los objetivos marcados. Los problemas planteados se han podido resolver satisfactoriamente (obtención de nuevas desigualdades discretas de tipo Brunn-Minkowski y Borell-Brascamp-Lieb) y, de hecho, los cuatro trabajos de investigación y las numerosas participaciones en congresos a los que esta tesis ha dado lugar así lo demuestran. Creemos además que el contenido de esta Tesis Doctoral va a permitir un mayor desarrollo en el estudio de desigualdades discretas, gracias a las construcciones y técnicas que se han desarrollado.
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    Inequalities for the lattice point enumerator
    (Universidad de Murcia, 2022-09-26) Lucas Marín, Eduardo; Hernández Cifre, María de los Ángeles; Henk, Martin; Escuela Internacional de Doctorado
    El propósito del proyecto de tesis es establecer análogos discretos de desigualdades conocidas en el campo de la Geometría Convexa. Por discretización entendemos la obtención de versiones de dichas desigualdades en las cuales se preserva la estructura y características generales de las mismas, pero se sustituyen algunos de sus elementos (por ejemplo, las medidas involucradas, o el espacio ambiente) por otros discretos que jueguen un papel similar. En nuestro caso particular trabajaremos fundamentalmente con retículos, es decir, subgrupos aditivos discretos del espacio euclídeo. Por otro lado, la medida habitual será el enumerador de puntos del retículo (LPE), aunque la cardinalidad también jugará un papel importante. La metodología empleada para realizar este proceso es en todos los casos similar. Primero comenzamos estudiando el caso continuo, prestando especial atención a las técnicas utilizadas en las demostraciones de las desigualdades. Seguidamente, estudiamos el estado del arte en el campo discreto, es decir, los resultados ya conocidos en el mismo en líneas de investigación que guarden una íntima relación con el problema en cuestión. Finalmente, tratamos de desarrollar técnicas discretas que nos permitan obtener las desigualdades análogas buscadas en el contexto discreto. Como es habitual en matemáticas, el proceso no siempre comienza con un potencial candidado concreto de teorema y termina con su demostración, sino que durante la propia indagación se va estableciendo lo que funciona y lo que no, hasta culminar con el resultado definitivo. Los resultados obtenidos en el proyecto se enmarcan fundamentalmente en cuatro problemas distinguidos de la Geometría Convexa, y como tal, quedan recogidos en cuatro capítulos respectivos de la tesis, correspondiendo habitualmente cada uno de ellos con uno o varios artículos de investigación donde los resultados han sido (o serán) publicados. El primer capítulo tiene su origen en las investigaciones previas del grupo de investigación, incluyendo tesis anteriores: la desigualdad de Brunn-Minkowski. En este proyecto, obtenemos una versión discreta mediante el LPE para combinaciones lineales con coeficientes positivos arbitrarios, generalizando así resultados anteriores. Después, demostramos una versión discreta de la misma para p-combinaciones con p positivo, tanto mayor como menor que 1 (punto que supone una transición crucial en las técnicas requeridas para su estudio). Amén de observaciones adicionales, demostramos que estas nuevas desigualdades implican sus análogas continuas. En el capítulo segundo nos centramos en la desigualdad isoperimétrica, quizá una de las más clásicas en toda la geometría, y obtenemos una versión para el LPE que implica la original. Asimismo, profundizamos en estudios previos para la medida de la cardinalidad y probamos una caracterización del caso de igualdad, obteniendo que los conjuntos extremales son precisamente los cubos reticulares. En el tercer capítulo ponemos nuestra atención en varias desigualdades de Rogers y Shephard, así como en otras relacionadas. Mediante diversas técnicas, tanto por comparación entre los funcionales volumen y LPE, como por adaptación discreta de las técnicas originales, obtenemos múltiples análogos discretos (a menudo no comparables entre sí) de la desigualdad original de Rogers-Shephard, así como de su desigualdad de tipo proyección-sección. Probamos también un análogo discreto de la desigualdad de Berwald, de la cual se desprenden versiones adicionales de las desigualdades anteriores. Estas nuevas desigualdades, al igual que antes, permiten recuperar las originales. Finalmente, en el cuarto capítulo estudiamos diversas conjeturas existentes en la línea de los mínimos sucesivos de Minkowski, funcionales de crucial importancia en el campo de la Geometría Discreta. En particular, obtenemos potentes resultados de comparación entre los funcionales volumen y LPE mediante dichos mínimos, demostrando tanto cotas superiores como inferiores que confirman (al menos, en orden de magnitud) las conjeturas planteadas, y que proporcionan además pruebas alternativas de diversas desigualdades clásicas adicionales en el campo.
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    On geometric and functional Grünbaum type inequalities
    (Universidad de Murcia, 2023-10-02) Marín Sola, Francisco; Yepes Nicolás, Jesús; Escuela Internacional de Doctorado
    El estudio de las desigualdades de tipo Grünbaum ha sido un campo de investigación muy fructífero durante los últimos años. Sus orígenes podemos encontrarlos en el trabajo de Ascoli, publicado en los años treinta, y posteriormente generalizado a dimensión arbitraria por Grünbaum en el artículo. La raíz de este resultado se encuentra en una pregunta natural relativa a los cuerpos convexos: ¿podemos asegurar la existencia de un punto ``a priori'' del interior de un cuerpo convexo, tal que al cortar este último por dicho punto resulten dos subcuerpos con una cantidad reseñable del volumen total? A la hora de intentar responder a esta pregunta uno queda conducido a la noción de centroide. Así, la desigualdad de Grünbaum afirma que si K es un cuerpo convexo, entonces el cociente vol(K-)/vol(K) está acotado por n/(n+1))n . Este trabajo aborda tres cuestiones relacionadas con la desigualdad de Grünbaum: • Por un lado, es natural preguntarse por una versión mejorada de la desigualdad de Grünbaum para una familia de cuerpos convexos K tales que (existe un hiperplano H para el cual) la función de los volúmenes seccionales es p-cóncava, con (1/(n-1)) < p. Por otro lado, atendiendo a lo anterior, podríamos esperar una posible extensión para conjuntos compactos, no necesariamente convexos, para los cuales dicha función es p-cóncava (para un cierto hiperplano H), con p < (1/(n-1)). • Sabiendo de la relación de las funciones log-cóncavas y p-cóncavas con la geometría de los cuerpo convexos, parece natural esperar una forma funcional de la desigualdad de Grünbaum. Además, teniendo en cuenta la relación entre la desigualdad de Grünnbaum y la desigualdad de Brunn-Minkowski, podríamos esperar que la desigualdad de Borell-Brascamp-Lieb desempeñase un rol importante en la prueba de un resultado de este tipo. • Dando una interpretación ligeramente distinta de la desigualdad de Grünbaum, dicho resultado asegura que, para cualquier cuerpo convexo, siempre existe un punto contenido en su interior (el centroide) de forma que cuando se corta este mediante un hiperplano a través de dicho punto, obtenemos dos subcuerpos con una porción relativamente ``grande'' del volumen total. A partir de esta observación, surge la siguiente pregunta: ¿existe una familia de puntos, potencialmente conteniendo al centroide, que compartan una propiedad similar? Además de esto, ¿hay algún otro punto, digamos especial o reconocido en la literatura, con una característica de esta índole? Para abordar estas preguntas, esta tesis comienza con un capítulo introductorio donde incluimos las definiciones y resultamos que necesitaremos posteriormente. Así, en el segundo capítulo veremos que fijado un hiperplano H, podemos encontrar una cota inferior para el cociente vol(K-)/vol(K) dependiendo este únicamente de la concavidad de la función de los volúmenes seccionales (paralela a H) de K. Además, en el cuarto capítulo, profundizamos más en la cuestión planteada; concretamente mostraremos que si la función de los volúmenes seccionales es ɸ-cóncava, entonces podemos acotar vol(K-)/vol(K) con una constante dada por la función ɸ. Con respecto a la segunda cuestión, en el tercer capítulo daremos una prueba sencilla de la versión funcional de la desigualdad de Grünbaum usando inducción en la dimensión y la desigualdad de Borell-Brascamp-Lieb. Finalmente, con relación a la última pregunta, en el capítulo cinco daremos dos ejemplos de puntos especiales para los cuales una desigualdad de tipo Grünbaum no es posible. Por el contrario, veremos que es posible extender dicho resultado al caso en el que el hiperplano H pasa por una familia uniparamétrica de centroides asociados a K. La metodología seguida en la realización de este trabajo ha sido la usual un proyecto matemático, es decir, está basada en el estudio de trabajos previos para desarrollar nuevas técnicas relacionadas con los problemas planteados.