Browsing by Subject "Cuerpos convexos"

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    Desigualdades de tipo Brunn-Minkowski y raíces de polinomios geométricos= From Brunn-Minkowski type inequalities to roots of geometric polynomials
    (2014-12-03) Yepes Nicolás, Jesús; Hernández Cifre, María de los Ángeles; Facultad de Matemáticas
    Palabras clave: Brunn-Minkowski’s inequality; projections and sections; p-tangential bodies; linearity of the volume; Steiner polynomial; sausages; (linear) Minkowski's first inequality; (classical and generalized) Wills functional; roots of geometric polynomials, p-balls Códigos Tesauro: 120403, 120206, 120400, 120113 Códigos Unesco: 120403, 120206, 120113 Resumen Español: La Tesis Doctoral está dedicada, por un lado, al estudio de desigualdades de tipo Brunn-Minkowski, especialmente cuando se trabaja con hipótesis sobre proyecciones/secciones, y, por otro lado, al estudio de las raíces de polinomios geométricos que surgen de una generalización del denominado funcional de Wills. En medio, nos encontraríamos las salchichas, las cuales resultan ser, salvo cuerpos convexos degenerados, la familia de los ‘conjuntos extremales’ en relación a algunas mejoras lineales de desigualdades tales como la desigualdad de Brunn-Minkowski o la primera desigualdad de Minkowski (y por tanto también de las desigualdades isoperimétrica y de Uryshon). Además esta familia de cuerpos convexos está ampliamente relacionada con algunos problemas relativos al polinomio de Steiner. Comenzamos estableciendo las nociones básicas que se necesitarán en un desarrollo posterior. A continuación, estudiamos mejoras de la desigualdad de Brunn-Minkowski, en el sentido de ‘refinar’ el exponente 1/n, cuando se asume que los cuerpos comparten una proyección común sobre un (n-k)-plano, por un lado, y para familias de cuerpos particulares, por el otro. En el tercer capítulo, abordamos el caso de igualdad en la versión lineal de la desigualdad de Brunn-Minkowski; nuestro enfoque subyace en (el estudio de) una posible caracterización de la linealidad del volumen a través de salchichas. En el último capítulo, investigamos las raíces de una familia de polinomios geométricos de cuerpos convexos asociados a una medida dada en la semirrecta real no-negativa, que surgen de una generalización natural del funcional de Wills. Resumen Inglés: The Doctoral Dissertation is devoted, on the one hand, to the study of Brunn-Minkowski's type inequalities, especially when working with projections/sections assumptions, and, on the other hand, to the study of the roots of geometric polynomials which arise from a generalization of the so-called Wills functional. In the middle, we would find sausages, which turn out to be, up to degenerated convex bodies, the family of ‘extremal sets’ in relation to some linear improvements of inequalities such as Brunn-Minkowski's inequality or Minkowski's first inequality (and thus also the isoperimetric and Urysohn's inequalities). Furthermore, this family of convex bodies is strongly connected to some problems relative to the Steiner polynomial. We start establishing the basic notions that will be needed further on. Next, we study refinements of the Brunn-Minkowski inequality, in the sense of ‘enhancing’ the exponent 1/n, when assuming that the bodies share a common projection onto an (n-k)-plane on the one hand, and for particular families of bodies on the other hand. In the third chapter, we deal with the equality case in the linear version of Brunn-Minkowski’s inequality; our approach relies on (the study of) a possible characterization of the linearity of the volume through sausages. In the last chapter, we investigate the roots of a family of geometric polynomials of convex bodies associated to a given measure on the non-negative real line, which arise from a natural generalization of the Wills functional.
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    Going further in the Lp-Brunn-Minkowski theory a p-difference of convex bodies = ampliando la teoría de Lp de Brunn-Minkowski: una p-diferencia de cuerpos convexos
    (2016-02-15) Martínez Fernández, Antonio Roberto; Hernández Cifre, María de los Ángeles; Saorín Gómez, Eugenia; Facultad de Matemáticas
    El principal objetivo de esta Tesis Doctoral es definir un nuevo concepto, análogo a la diferencia de Minkowski de cuerpos convexos, pero en el contexto de la teoría Lp de Brunn-Minkowski, que sea en cierto sentido “opuesto” a la p-suma de cuerpos convexos, estudiando sus características principales y viendo si cumple propiedades análogas a la diferencia de Minkowski clásica. Otro de los objetivos perseguidos ha sido estudiar la derivabilidad de las quermassintegrales en el parámetro de definición de la familia de cuerpos p-paralelos. Así, comenzamos la memoria estableciendo las nociones básicas que se necesitarán para el posterior desarrollo de los contenidos. A continuación, definimos la p-diferencia de cuerpos convexos de dos formas distintas –como el mayor conjunto que se puede p-sumar a uno de ellos para que quede contenido en el otro y en términos de las funciones soporte de los cuerpos convexos– viendo que, de hecho, son equivalentes. Investigamos la concavidad y la continuidad respecto a la métrica de Hausdorff de esta nueva operación, y definimos el sistema completo de cuerpos p-paralelos, determinando el comportamiento de los p-paralelos interiores para los llamados cuerpos tangenciales. El tercer capítulo está dedicado al ya mencionado estudio de la derivabilidad de las quermassintegrales. En particular, se obtiene que el volumen es siempre derivable en el rango completo de definición del parámetro, mientras que para el resto de quermassintegrales la derivabilidad se tiene sólo en los valores no-negativos del parámetro. En todos los casos de derivabilidad se proporciona una expresión explícita de la derivada del correspondiente funcional. La memoria concluye con el estudio de la frontera de los cuerpos p-paralelos interiores, en el sentido de relacionar los vectores extremos del cuerpo convexo original con los de sus p-paralelos interiores. También se define un nuevo cuerpo convexo, el llamado p-forma, que permite obtener cotas para las quermassintegrales de los cuerpos p-paralelos interiores, así como para la derivada, en los puntos donde ésta existe, de la función soporte respecto al parámetro de definición de dicho sistema completo de cuerpos p-paralelos. La metodología seguida ha sido la usual en un proyecto de investigación en matemáticas: el estudio en profundidad de artículos y textos en Geometría Convexa y Teoría (Lp) de Brunn-Minkowski, con el fin de adquirir la base necesaria para abordar los problemas planteados, un análisis pormenorizado de los resultados ya conocidos, para así establecer los puntos de partida de nuestra investigación, y el desarrollo y creación de nuevas técnicas que permitan resolver los problemas planteados. En conclusión, podríamos decir que se han logrado sobradamente los objetivos marcados. La mayoría de los problemas planteados se ha podido resolver satisfactoriamente (definición y propiedades principales de la p-diferencia en relación con la p-suma; derivabilidad del volumen y las quermassintegrales; uso de los cuerpos p-paralelos interiores como herramienta para la obtención de nuevas desigualdades) y, de hecho, los tres trabajos de investigación a los que esta tesis ha dado lugar así lo demuestran. Creemos además que el contenido de esta Tesis Doctoral va a permitir un mayor desarrollo en la teoría Lp de Brunn-Minkowski, gracias a las nuevas herramientas y técnicas que proporcionan los cuerpos p-paralelos. The main aim of this Doctoral Thesis is to define a new concept, analogous to the Minkowski difference of convex bodies but in the framework of the Lp-Brunn-Minkowski theory, which can be somehow “opposite” to the p-sum of convex bodies, and to study its main properties. Another goal has been to consider the differentiability of the quermassintegrals in the definition parameter of the family of p-parallel bodies. Thus, we start the dissertation establishing the basic notions that will be needed further on. Next, we define the p-difference of two convex bodies in two possible ways –as the largest set that can be p-added to one of them and keeps the result within the other, and in terms of the support functions of the involved convex bodies– and show that, in fact, they are equivalent. We investigate the concavity and the continuity with respect to the Hausdorff metric of this new operation, and define the full system of p-parallel bodies. The third chapter is devoted to study the already mentioned differentiability of the quermassintegrals. In particular, we obtain that the volume is always differentiable in the full range of definition of the parameter, whereas for the remaining quermassintegrals, differentiability only holds for non-negative values of the parameter. In all cases where there is differentiability, we provide the explicit expression for the derivative of the corresponding functional. We conclude the Thesis studying the boundary of the p-inner parallel bodies, in the sense of relating the extreme normal vectors of the original convex body to the ones of its p-inner sets. We also define a new convex body, the so-called p-form body, which will allow us to get bounds for the quermassintegrals of the p-inner parallel bodies, as well as for the derivative, wherever it exists, of the support function with respect to the definition parameter of such a full system of p-parallel sets. The methodology for the attainment of our objectives has been the usual one for basic research in Mathematics: to study papers and books in Convex Geometry and (Lp-) Brunn-Minkowski theory, in order to achieve the necessary background to address the posed questions; a detailed analysis of the previously known results in order to establish the starting points in our research; and the development of new techniques which allow us to solve the outlined problems. In conclusion, we can say that the raised objectives have been achieved. Most of the problems have been successfully solved (feasible definition and main properties of the p-difference in connection with the p-sum; differentiability of the volume and the quermassintegrals; use of p-inner parallel bodies as a tool in order to obtain new inequalities) and, in fact, this can be seen by the three research works which have arisen from this dissertation. Moreover, we think that the content of this Ph.D. Thesis will be the starting point for a deeper development of the Lp-Brunn-Minkowski theory, because of the new tools and techniques that p-inner parallel bodies provide.